Cálculo Integral ITPA: Notación de sumatoria

Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.

Dada una sucesión:

$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},...$

Ésta se puede representar como la suma de los $n$ primeros términos con la notación de sumatoria onotación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega $\sum$ (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:

$\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+...+a_{n}$

La ecuación anterior se lee la "suma de $a_{k}$ desde $k=1$ hasta $k=n$ ." La tetra k es el índice de la suma o variable de la sumatoria y se reemplaza k en la ecuación después de sigma, por los enteros $1,2,3,4,5,......n$ , y se suman las expresiones que resulten, con lo que resulte del lado derecho de la ecuación.

Ejemplo # 1

Calcule la siguiente Serie:

$\sum_{k=1}^{5}k^2$

Solucion:

$\sum_{k=1}^{5}k^2=1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$

Ejemplo # 2

$\sum_{j=3}^{5} \frac{1}{j}$

Solucion:

$\sum_{j=3}^{5} \frac{1}{j} = \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{20+15+12}{(3)(4)(5)}=\frac{47}{60}$

Ejemplo # 3

$\sum_{i=5}^{10} i$

Solucion:

$\sum_{i=5}^{10} i = 5+6+7+8+9+10=45$

Ejemplo # 4

$\sum_{h=1}^{6} 2$

Solucion:

$\sum_{h=1}^{6} 2+2+2+2+2+2=12$

Otros ejemplos

Exprese cada suma en notacion sigma:

Ejemplo # 1

(a) $5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3$

Solucion:

$5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3=\sum_{j=5}^{10} j^3$

Ejemplo # 2

(b) $\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+...+\sqrt{77}$

Solucion:

$\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}+...+\sqrt{77}=\sum_{k=3}^{77} \sqrt{k}$

Sin embargo, no hay forma unica de escribir una suma en notacion sigma tambien la podemos representar de la siguiente manera:

Solucion

(a) $\sum_{j=0}^{5} (5+j)^3$

(b) $\sum_{k=0}^{74} \sqrt{k+3}$

Las siguientes propiedades son resultado natural de las propiedades de los numeros naturales.

Propiedades de las sumas

Sean las sucesiones

$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},...$

$b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},...$

Entonces, para todo entero positivo $n$ y todo numero real $c$ , sabemos:
1. $\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k}) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}$

2. $\sum_{j=1}^{n}(a_{j}-b_{j}) = \sum_{j=1}^{n}a_{j}-\sum_{j=1}^{n}b_{j}$

3. $\sum_{i=1}^{n} ca_{i} = c(\sum_{i=1}^{n}a_{i})$

4. $\sum_{i=1}^{n}(i)=\frac{n(n+1)}{2}$

5. $\sum_{i=1}^{n}(i^{2})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

6. $\sum_{i=1}^{n}(i^{3})=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}$

Demostracion

Para la demostracion de la 1 propiedad escribiremos el lado izquierdo de la ecuación de la siguiente manera:

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})$

para obtener:

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})= (a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+(a_{3}+b_{3})+...+(a_{n}+b_{n})$

Sabemos que la suma es asociativa y comnumatativa por lo que los terminos se reordenan y queda de la siguiente manera:

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n})$

y sabemos que la sucesion $(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})$ y $(b_{1}+b_{2}+b_{3}+......+b_{n})$ se puede escribir en notacion sigma de la siguiente manera:

$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}) = \sum_{k=1}^{n}a_{k}$

$(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n}) = \sum_{k=1}^{n}b_{k}$

por lo que al sustituir obtendremos la 1 propiedad:

$\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{n})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}$

La demostración de la 2 propiedad es similar por lo que no la llevaremos acabo. Para la 3 propiedad utilizaremos la propiedad distributiva de la suma:

$\sum_{i=1}^{n} ca_{i}=ca_{1}+ca_{2}+ca_{3}+...+ca_{n}$

como se menciono antes por la distributividad de la suma sabemos que:

$\sum_{i=1}^{n} ca_{i}=ca_{1}+ca_{2}+ca_{3}+.......+ca_{n}=c(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})$

y por notacion sigma sabemos que:

$(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})=(\sum_{i=1}^{n}a_{i})$

por lo que al momento de sustituir obtendremos la 3 propiedad:

$\sum_{i=1}^{n} ca_{i}=c(a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n})=c(\sum_{i=1}^{n}a_{i})$ TAREA Calcula las siguientes sumatorias: a) (3i + 4) desde i=1 hasta 10 b) (i^2 + 3i - 5) desde i=1 hasta 25 c) (i^3 + 3i^2) desde i=1 hasta 5 d) (2i^4 - 3i^3 + 4i^2) desde i=1 hasta 7

Cálculo Integral ITPA

15.1.11

Notación de sumatoria

Ejemplo # 1

Otros ejemplos

Propiedades de las sumas

Demostracion

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